Хімія

Однорідні лінійні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами


Приклад: Розв’язання рівняння Пуассона-Больцмана

В електрохімії рівняння Пуассона-Больцмана описує електростатичну взаємодію між іонами

1р2ddрр2dφ(р)dр=1β2φ(р).

Спочатку зробимо заміну

u=рφ

через це до нас

dφ(р)dр=рdudр-uр2

припаси. Якщо ми вставимо це, ми отримаємо

1р2ddррdudр-u=1β2uр,

і з цього однорідне лінійне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами

d2udр2-1β2u=0.

Їх характерне рівняння має два дійсні нулі с1=1β і с2=-1β. Отже, загальне рішення таке:

u=А.eс1р+Б.eс2р=А.eрβ+Б.e-рβ.

Якщо ми почнемо знову зараз, ми нарешті отримаємо

φ(р)=А.рeрβ+Б.рe-рβ.


Відео: Матан за час. Шпаргалка для первокурсника. Высшая математика (Січень 2022).